Аспирантура. Математика и механика

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

 

 

                                                                                                            Утверждено

                                                                        решением Ученого совета ФГОБУ ВПО МТУСИ

                                                                                                     27 марта 2014 г., протокол № 8

             Председатель Ученого совета ___________ А.С. Аджемов

 

 

 

 

Программа вступительных испытаний в аспирантуру по направлению 01.06.01 «Математика и механика»

 

Профиль «Математика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступительные испытания в аспирантуру по направлению 01.06.01 «Математика и механика» проводятся согласно выбранному профилю.

 

Требования к поступающим в аспирантуру по направлению

Наличие профильного высшего образования.

 

Обязательное знание библиотек и технологий

 офисные программы MS Word, MS Excel, PowerPoint, Visio и др.

 Знание языков программирования Basic, Visual Basic, C, C++, Visual C, C#

 MATLAB, MathCAD, Delphi, C++, Visual Basic, HTML

 

1. ЦЕЛЬ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ

Целью вступительного испытания в аспирантуру по направлению 01.06.01 «Математика и механика» является проведение конкурсного отбора среди лиц, желающих освоить программу специализированной подготовки аспиранта по профилю «Математика».

 

2. СТРУКТУРА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ

На вступительном испытании претенденту предлагается задание, состоящее из трех вопросов, отражающих основные квалификационные требования, предъявляемые к магистру и специалисту для решения профессиональных задач, необходимых для подготовки диссертационной работы.

 

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ

I.  Математический анализ

1.   Множества и операции над ними.  Понятие отображения (функции).          График функции. Обратная функция.  Суперпозиции функций.

2.   Действительные числа и их основные свойства.  Ограниченные множества действительных чисел и их верхние и нижние грани.  Теорема о вложенных отрезках.

3.  Числовые последовательности и их пределы.  Лемма Больцано—Вейерштрасса и Бореля.  Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.  Верхний и нижний пределы последова­тель­ности.  Числовые ряды и признаки их сходимости. 

4.  Функции одного переменного.  Предел функции.  Непрерывные функции. Равномерная непрерывность.  Теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней граней непрерывной функции на отрезке.

5.  Производная функции одного переменного, ее геометрический и физический смыслы.  Дифференциал.  Формулы дифференцирования.  Производная обратной и сложной функции. Производные элементарных функций.   Теоремы  Ролля и Лагранжа о конечном приращении.  Правило Лопиталя.

6.  Локальные экстремумы функции.    Исследование функций и построение их графиков (интервалы монотонности, выпуклости, точки экстремума, перегиба, асимптоты).

7.   Производные высших порядков.  Формула Тейлора.  Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

8. Интегрирование функции одного переменного.  Неопределенный интеграл и его свойства.  Таблица основных интегралов.

 9. Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл.  Теорема о среднем.  Производная интеграла по верхнему пределу и формула Ньютона--Лейбница.  Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

10. Несобственные интегралы и признаки их сходимости.

11. Открытые, замкнутые и ограниченные множества в конечномерном пространстве. Функции нескольких переменных.  Предел в точке и непрерывность. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных. 

12.Дифференцируемость:  частные производные, полный дифференциал и его геометрический смысл.  Градиент.  Производная по направлению. 

13. Дифференцируемость сложной функции от нескольких переменных.

 

14. Теорема о неявной функции. 

15. Второй дифференциал. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.

II. Линейная алгебра

1.  Определение векторного пространства. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Понятие ранга системы векторов.

2.  Конечномерные векторные пространства и их размерность. Арифметическое  пространство .  Подпространства и аффинные многообразия в векторном пространстве, их размерности. Линейная оболочка системы векторов.

3.  Операции с подпространствами.  Прямая сумма подпространств. Связь  размерностей суммы и пересечения двух подпространств.

4.   Матрицы и операции с ними.    Сложение и умножение матриц, умножение на скаляр. Транспонирование матриц. Клеточные матрицы. Обратные матрицы.

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Матрица системы,

теорема о ранге матрицы.

6. Условия существования решения системы при любой правой части. Условие единственности решения для совместной системы. Множества

решений однородной и неоднородной систем, их размерность. Общее решение совместной системы.

7.  Общее понятие линейного оператора   Матрицы как линейные операторы в пространствах вида . Образ и ядро линейного оператора, суперпозиция

линейных операторов.

8. Линейные преобразования векторных пространств.  Собственные векторы и собственные числа. Характеристический многочлен матрицы.

9. Алгебраическая и геометрическая кратности  собственного числа. Линейная независимость системы собственных векторов, соответствующих разным собственным числам.

10.  Положительно определенные, отрицательно определенные и полуопределенные симметричные матрицы.

11.  Понятие билинейной формы. Скалярное произведение, его примеры в

пространстве .  Ортогональное дополнение подпространства. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

III. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Система дифференциальных  уравнений  первого порядка. Теорема существования и единственности решения.

2. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Линейное однородное уравнение. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Линейное неоднородное уравнение.

3. Линейное дифференциальное  уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения однородного уравнения. Вид частного решения в случае задания правой части  квазимногочленом.

4. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости. Функция Ляпунова и её свойства. Теорема Ляпунова об устойчивости.

 5. Линеаризация уравнения в окрестности стационарной точки. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению.

IV. Теория вероятностей и элементы математической статистики.

1. Вероятностное пространство. Свойства вероятности. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2. Случайные величины. Распределение случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, моменты, центральные моменты, квантили, процентные точки.

3. Дискретные распределения: биномиальное, пуассоновское. Непрерывные распределения: равномерное, показательное, нормальное, логарифмически нормальное. Примеры их применения.

4. Распределение функций от случайных величин.

5.Случайные векторы. Распределение случайных векторов. Вектор средних значений и матрица ковариаций случайного вектора. Частное (маржинальное) распределение. Условное распределение.

6.Многомерное нормальное распределение.

7.Закон больших чисел, центральная предельная теорема.

8.Статистическое тестирование гипотез. Ошибки первого и второго рода. Значимость и мощность теста. Критерии согласия и однородности.

Классическая линейная модель множественной регрессии. Метод наименьших квадратов (МНК). Свойства МНК-оценок. Тестирование линейных ограничений (F-тест).                                                    

V.  Общая механика

1.  Системы отсчета. Движение и покой. Скорость и ускорение матери­альной точки. Прямоугольные декартовы и натуральные оси.

3.  Плоско-параллельное движение твердого тела. Распределение ско­ростей и ускорений точек. Мгновенные центры скоростей и ускоре­ний.

4.  Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Формула Эйлера.

5.  Геометрическое и аналитическое изучение общего случая движения твердого тела. Распределение скоростей и ускорений.

7.  Понятие силы. Реакции связей. Аксиомы статики.

8.  Аналитическая статика. Принцип возможных перемещений. Теорема Лагранжа.

9.  Уравнения движения материальной точки. Общие теоремы динамики точки. Первые интегралы.

10. Относительное равновесие и движение материальной точки. Силы инерции. Принцип Даламбера.

11.Колебания механических систем. Резонанс. Автоколебания, предель­ные циклы, сепаратрисы.

12.Общие теоремы динамики системы. Первые интегралы. Теорема Кенига. Принцип Даламбера.

13.Плоско-параллельное движение твердого тела.

14.Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа.

15.Канонические уравнения. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби.

 

Из приведенного  списка литературы может быть использована любая из монографий и учебников и более позднего издания. 

Литература

 

1. Фихтенгольц Г.М.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1,2. М., Физматлит,  2001.

2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: МЦНМО,  I  и II части, 2002.

3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический  анализ. Т. 1,2. М., Изд.-во МГУ, 1958-1987.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.  Т. 1,2. М., Наука, 1981.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Наука, 1980.

6. Мальцев А.И.  Основы линейной  алгебры. М., Наука, 1970. 

7. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М., Наука, 1974.

8. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная  геометрия.

М., Наука, 1970.

9. Ильин В.А., Ким Б.Г. Линейная алгебра. Изд-во МГУ, 1998.

10. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные

пространства. М., Наука, 1963. 

11. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., Добросвет  КДУ, 2006.

12. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1965.

13. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.

14. Демидович Б.П.  Лекции по математической теории устойчивости. М.: МГУ, 1998.

15. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М., Гостехиздат, 1957.

16. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., Комкнига, 2006.

17. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики.  2-е издание. Том 1. М.: Юнити, 2001.

18. Айвазян С.А. Основы эконометрики. 2-е издание. Том 2. М.: Юнити, 2001.

19. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика.

20. Начальный курс. 7-е   издание. М.: Дело, 2005.

21. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2004.

22. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2006

23. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.-Ижевск: «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.

24. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.,Физматлит,2001.

25. Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики. М.,Физматлит, 2008.

26. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.,Физматгиз,1965.

27. Малкин Н. Г. Теория устойчивости движения. М.,Физматгиз, 1965.